Близкие нули дзета-функции Римана

1 min


У Алекса Конторовича был интересный твит о гипотезе Римана несколько дней назад.

Критическая полоса дзета-функции Римана является частью комплексной плоскости с действительной частью от 0 до 1. Гипотеза Римана предполагает, что все нули дзета-функции в этой области имеют действительную часть 1/2. Другими словами, гипотеза Римана говорит, что ζ (Икс + Это) никогда не равен нулю, если Икс = 1/2 Однако, согласно твиту Алекса Конторовича, эта функция бесконечно часто приближается к нулю бесконечно часто для других значений Икс,

Я написал небольшой код Mathematica для создания графиков, подобных приведенным выше. Вот сюжет ζ (1/2 + Это).

    ParametricPlot(
        {Re(Zeta(1/2 + I t)), Im(Zeta(1/2 + I t))},
        {t, 0, 100}, 
        AspectRatio -> 1, 
        PlotRange -> {{-2, 6}, {-3, 3}}
    )

Сначала я не указывал соотношение сторон, и у меня были почти круглые дуги. Затем я понял, что это был артефакт соотношения сторон по умолчанию в Mathematica. Кроме того, я установил диапазон графика так, чтобы изображение выше было сопоставимо со следующим изображением.

Обратите внимание на все линии, пересекающие начало координат. Они соответствуют нулям ζ вдоль линии Re (Икс) = 1/2.

Затем я изменил 1/2 на 1/3.

Если вы посмотрите внимательно, вы увидите разрыв вокруг источника.

Вот крупный план происхождения на обоих графиках. Сначала для Икс = 1/2

а теперь для Икс = 1/3.

Я не видел результата в твиттере Конторовича раньше. Я не знаю, подходит ли это для всех Икс или только для определенных значений Икс, Я предполагаю, что первое. Но, видимо, это как минимум Икс = 4/5. Таким образом, мы должны быть в состоянии найти значения | & zeta (4/5 + Это) | так мало, как нам нравится, принимая T достаточно большой, и мы всегда должны быть в состоянии найти больше таких значений, если смотреть дальше. На практике вам может потребоваться очень далеко, прежде чем вы найдете небольшое значение. Например, если взглянуть на 1000, то кажется, что минимум составляет около 0,2.

    Plot(
        Abs(Zeta(4/5 + I t)), 
        {t, 0, 1000}, 
        PlotRange -> {0, 1}
    )

Если вы попросите Mathematica найти минимум на графике выше, он не даст разумного ответа; слишком много локальных минимумов. Если вместо этого вы попросите его просмотреть несколько раз через небольшие промежутки времени, это будет намного лучше. Следующее минимизирует | ζ (4/5 + Это) | через интервал (я, я+1).

    f(i_) := FindMinimum(
        {Abs(Zeta(4/5 + I t)), i 

It returns a pair: the minimum and where it occurred. The following will look for places where |ζ(4/5 + it)| is less than 0.2.

    For(i = 0, i 

It finds two such values.

{0.191185, {t->946.928}}

{0.195542, {t->947.}}

Когда я пишу это, у меня работает более длинная программа, и пока самое маленькое значение, которое я нашел, это 0,1809, которое происходит в T = 1329,13. Согласно Конторовичу, вы можете найти любое маленькое значение, например, менее 0,1 или 0,001, но, очевидно, это может занять очень много времени.

Похожие сообщения


0 Comments

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *