Методы Рунге-Кутты и картина Мясника

1 min


Если вы знаете один численный метод для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, это, вероятно, Метод Эйлера, Если вы знаете два метода, второй, вероятно, 4-го порядка Рунге-Кутта, В классах по дифференциальным уравнениям или численному анализу принято представлять метод Эйлера концептуально просто но неэффективный введение, а затем представить Рунге-Кутта как сложный но эффективное альтернатива.

Методы Рунге-Кутты – это огромное семейство численных методов с широким спектром компромиссов: эффективность, точность, стабильность и т. Д. Метод Эйлера является членом семейства Рунге-Кутты, как и многие другие варианты. Вы можете посвятить карьеру изучению методов Рунге-Кутты, и некоторые люди это делают.

Помимо сложности и разнообразия, все методы Рунге-Кутты имеют общую форму, которую можно суммировать с помощью матрицы и двух векторов. За явный Методы Рунге-Кутта (ERK) матрица треугольная, а для неявный Методы Рунге-Кутта (ИРК) матрицы заполнены.

Это краткое изложение метода РК известен как Мясная лавка, названный в честь Дж. К. Мясника, который классифицировал методы РК.

Метод Рунге-Кутты

Например, давайте начнем с того, что ученики часто называют «методом Рунге-Кутты». Этот метод приближает решения дифференциального уравнения вида

y '= f (t, y)

по

y_ {n + 1} = y_n + frac {h} {6} left (k_ {n1} + 2k_ {n2} + 2k_ {n3} + k_ {n4} right)

где

k_ {n1} & = & f (t_n, y_n) \ k_ {n2} & = & f (t_n + 0.5h, y_n + 0.5hk_ {n1}) \ k_ {n3} & = & f (t_n + 0.5h, y_n + 0.5hk_ {n2}) \ k_ {n4} & = & f (t_n + h, y_n + hk_ {n3}) \

Таблица Мясника для этого метода ERK

begin {array} {c | cccc} 0 \ 1/2 & 1/2 \ 1/2 & 0 & 1/2 \ 1 & 0 & 0 & 1 \ hline & 1/6 & 1/3 & 1 / 3 & 1/6 end {array}

Числа вдоль левой стороны являются коэффициентами час в первом аргументе е,

Числа внизу – это коэффициенты Кs в выражении для значения Y на следующем шаге.

Числа в середине массива являются коэффициентами Кво втором аргументе е, Поскольку это явный метод, каждый К зависит только от предыдущего Кs, и поэтому таблица коэффициентов имеет треугольную форму.

Рунге-Кутта 3/8 правило

Вышеописанный метод является наиболее распространенным правилом ERK 4-го порядка, есть еще одно, известное как правило 3/8. Это немного менее эффективно и немного более точно. Шаг этого правила задается

y_ {n + 1} = y_n + frac {h} {8} left (k_ {n1} + 3k_ {n2} + 3k_ {n3} + k_ {n4} right)

где

begin {align *} k_ {n1} & = f (t_n, y_n) \ k_ {n2} & = f (t_n + frac {h} {3}, y_n + frac {h} {3} k_ {n1}) \ k_ {n3} & = f (t_n + frac {2h} {3}, y_n - frac {h} {3} k_ {n1} + k_ {n2}) \ k_ {n4 } & = f (t_n + h, y_n + h k_ {n1} - h k_ {n2} + hk_ {n3}) end {align *}

Этот метод обобщен в следующей таблице Мясника.

begin {array} {c | cccc} 0 \ 1/3 & 1/3 \ 2/3 & -1/3 & 1 \ 1 & 1 & -1 & 1 \ hline & 1/8 & 3 / 8 & 3/8 & 1/8 end {array}

В этом примере немного легче увидеть, что происходит, поскольку ни один из коэффициентов в треугольном массиве не равен нулю. Полная информация приведена в разделе ниже.

Генерал Явный Рунге-Кутта

Наиболее общая форма правила ERK с s шаги это

y_ {n + 1} = y_n + h sum_ {i-1} ^ s b_i k_ {ni}

где

k_ {ni} = f left (x_n + c_i h, y_n + h sum_ {j = 1} ^ {i-1} a_ {ij} k_ {nj} right)

и таблица мясника

begin {array} {c | ccccc} 0 \ c_2 & a_ {21} \ c_3 & a_ {31} & a_ {32} \ vdots & vdots & & ddots \ c_s & a_ {s1} & a_ {s2} & cdots & a_ {s, s-1} \ hline & b_1 & b_2 & cdots & b_ {s-1} & b_s end {array}

Общие неявные Рунге-Кутта

С явными (ERK) методами каждый К зависит только от его предшественников. С неявными (IRK) методами каждый К потенциально зависит от каждого из остальных. Матрица в таблице полная, а не треугольная, и для Кs.

Сейчас

k_ {ni} = f left (x_n + c_i h, y_n + h sum_ {j = 1} ^ s a_ {ij} k_ {nj} right)

с суммой, идущей вплоть до s, и таблица мясника

begin {array} {c | ccccc} c_1 & a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1s} \ c_2 & a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2s} \ vdots & vdots & & ddots & vdots \ c_s & a_ {s1} & a_ {s2} & cdots & a_ {s, s} \ hline & b_1 & b_2 & cdots & b_ { s} end {array}

Неявные методы более сложны в реализации и требуют большего количества вычислений для заданного размера шага. Однако они более устойчивы для жестких дифференциальных уравнений и могут допускать большие шаги. Неявные методы менее эффективны, когда они не нужны, и более эффективны, когда они необходимы.

Подробнее о дифференциальных уравнениях


0 Comments

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *