Нечетные числа в треугольнике Паскаля

1 min


Вот интересная теорема, с которой я недавно столкнулся.

Количество нечетных целых чисел в N3-й ряд треугольника Паскаля равен 2б где б это число единиц в двоичном представлении N,

Вот первые несколько строк треугольника Паскаля:

1
1  1
1  2  1
1  3  3  1
1  4  6  4  1
1  5  10 10 5  1
1  6  15 20 15 6  1
1  7  21 35 35 21 7  1
...

Мы считаем строки, начиная с 0, поэтому для N по крайней мере, 1 Nв ряду есть N во втором столбце.

Обратите внимание, например, что на шестой четверке записи нечетные: 1, 15, 15, 1. Бинарное представление 6 равно 110, поэтому б = 2 и 2² = 4. В 7-й строке все восемь записей нечетны. Двоичное представление 7 равно 111, а 2³ = 8.

В приведенной выше теореме есть несколько быстрых следствий. Во-первых, количество нечетных чисел в NВо втором ряду треугольника Паскаля всегда есть степень 2. Во-вторых, во втором рядуК-1 – 1, все записи нечетные.

Этот пост является слегка расширенной версией Твиттер Я разместил на @AlgebraFact эти выходные.

Подробнее о треугольнике Паскаля


0 Comments

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *